На доске записано 12 натуральных чисел. Известно что сумма любых трех чисел из них меньше...

Элементарно.

Всего чисел - 12, сумма любой тройки из них меньше ста.

То есть, нам известно что:

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9,a_1_0,a_1_1,a_1_2\\ a_1+a_2+a_3<100\\a_4+a_5+a_6<100\\a_7+a_8+a_9<100\\a_1_0+a_1_1+a_1_2<100$

Сложим все четыре неравенства:

\\a_1+a_2+...+a_1_1+a_1_2<400" alt="(a_1+a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6)+\\+(a_7+a_8+a_9)+(a_1_0+a_1_1+a_1_2)<\\<(100+100+100+100)<=>\\a_1+a_2+...+a_1_1+a_1_2<400" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ч. т. д.

** доске записано 12 натуральных чисел. Известно что сумма любых трех чисел из них меньше...