5-ое задание. Задание очень сложное, нестандартное, советую подумать хорошо.

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Преобразуем второе неравенство
$x^2+y^2<4x+2y-3\\ x^2-4x+y^2-2y+3<0\\ (x-2)^2+(y-1)^2<2$
Это уравнение окружности, с центром $O(2;1) \ R=\sqrt{2}$
Первое представляет собой прямую
найдем производную
$f'(x)=\frac{(x-2)(|x-2|-1)}{|x-2|||x-2|-1|}$
Критические точки равны, приравняв производную к 0 $x=1;2;3$
Откуда функция возрастает на
$x\in[1;2]\cup[3;\infty)$
Функция убывает на
$x\in(-\infty;1]\cup[2;3]$
Функция пересекает абсциссу в точке
$||x-2|-1|=0\\ x=1;\\ x=3$
Следовательно график расположен выше этого графика не включительно .

Заметим что круг и первое уравнение пересекаются в точках $(1;0)\cup(3;0)$ Если решить систему.
$||x-2|-1|=y\\ x^2+y^2=4x+2y-3\\\\$ .
Теперь найдем площадь как обычно между фигурами первого неравенства и второго уравнения , затем отнимем от площади круга
Получим равнобедренный треугольник со сторонами $a=b=1\\ c=\sqrt{2}\\ S_{abc}=\frac{2*1}{2}=1$
И площадь сегмента по формуле
$S=R^2arccos(\frac{R-h}{R})-(R-h)\sqrt{2Rh-h^2}\\ R=\sqrt{2}\\ h=\sqrt{2}-1\\ S=2arccos(\frac{1}{\sqr{2}})-1=2*\frac{\pi}{4}-1=\frac{\pi}{2}-1$

Ответ $2\pi-\frac{\pi}{2}+1-1=\frac{3\pi}{2}$

Матов_zn (224k баллов) 22 Март, 18

doc17_zn · Answer 1 · 2018-03-22T05:33:22+0000

Фотография справа-налево получилась.

Вобщем, решением 2 нер-ва является круг без границы с центром в точке (2;1) и Rадиусом = sqrt(2) . (x^2 + y^2 -4x - 2y +4 + 1 -4 -1 < -3 ==> (x-2)^2 + (y-1)^2 < 2 ).

Первое нер-во расписываем в систему:

{y>lx-3l , x>=2
{y>l1-xl , x<2<br>
В итоге, строим график кусочно заданной функции модулей и круг без границы, все точки, находящиеся выше ломанной (графика функции - системы модулей), попадающие во внутрь круга являются решениями системы неравенств.

Площадь состоит из полукруга (то что он без границы нам не важно, погрешность при вычислении площади - бесконечно мала) и 2ух секторов по 45 град каждый (опять же, у них отсутствует дуга), это именно сектора, так как радиус нашего круга = sqrt(2). На рисунке нарисовал горизонтальную прямую, чтобы было видно разделение. (На рисунке выколотые точки кажутся, наоборот, включенными, это не так:) )

По сути, в нашем круге без границы вырезали сектор 90 град. ==> S = 3/4 S круга = 3/4 * pi * r^2 = 1.5 pi