Дано: ABCD- трапеция. BC и AD основания. BC=3 см, AB=4 см. Угол А=60 градусов, Угол D=45...

Дано: ABCD - трапеция. ВС = 3см, АВ = 4см, ∠А=60°, ∠D = 45°.
Найти: $S_{ABCD}$ и $P_{ABCD}$
Решение:
1) С прямоугольного треугольника АВК(∠АКВ = 90°).
Косинус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе, тоесть:
$\cos A= \frac{AK}{AB} \\ AK=\cos 60а\cdot AB= \frac{1}{2} \cdot 4=2\,\, cm$
$BK=AB\cdot \sin 60а=4\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} =2 \sqrt{3}\,\,\, cm$
2) С прямоугольного треугольника CDL (∠CLD = 90°)
Котангенс угла - это отношение прилежащего катета к противолежащему катету, тоесть:
$ctg \,\, B= \frac{CL}{LD} \\ LD=ctg\,\,45а\cdot CL=1\cdot2 \sqrt{3} =2 \sqrt{3} \,\,cm$
3) основание АD
$AD=BC+AK+LD=5+2 \sqrt{3}\,\,\, cm$
4) $CD= \dfrac{CL}{\sin 45} = \dfrac{2 \sqrt{3} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } =2 \sqrt{6}\,\,\,cm$
5) Периметр и площадь трапеции
$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=12+2 \sqrt{3} +2 \sqrt{6} \,\,\, cm$
$S_{ABCD}= \frac{AD+BC}{2} \cdot h= \frac{5+2 \sqrt{3}+3 }{2} \cdot2 \sqrt{3} =8 \sqrt{3} +6 \,\,\, cm^2$

Ответ: $P_{ABCD}=12+2 \sqrt{3} +2 \sqrt{6} \,\,\,cm;\,\,\,\,\,\,S_{ABCD}=8 \sqrt{3} +6 \,\,\, cm^2$