Пусть функции и определены на
некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором эти функции принимают равные значения, другими
словами, найти все значения , для которых выполняется равенство: =. При такой
постановке это равенство называется уравнением с неизвестным . Уравнение
называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только
алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в
степень и извлечение корня с натуральным показателем. Множество
называется множеством
(областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения. Множество
называется множеством
решений, а всякое его решение - корнем
данного уравнения
Решить уравнение, –
значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.
Уравнения, имеющие одни
и те же корни, называются равносильными. Основная теорема
алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени в области комплексных
чисел имеет корней.Основные правила
преобразования уравнения в равносильное ему:·
Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной
части уравнения в другую с противоположным знаком;·
Обе части уравнения можно умножить или разделить
на одно и тоже отличное от нуля число;·
Если уравнение имеет вид , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере
корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения =0, если они существуют;·
Уравнение вида можно заменить
равносильной системой или решить уравнение =0, а затем отбросить те из найденных корней, которые
обращают в нуль знаменатель ;·
Уравнение считается решенным неверно как в
случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в
процессе решения был потерян хотя бы один корень.Теорема о
неэквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область
определения, то уравнения = и 2=2 не обязательно являются эквивалентными в этой
области.Теорема об
эквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область
определения и для каждого значения
переменной из области эти функции принимают
неотрицательные значения, то уравнения = и 2=2 являются эквивалентными области .