определить область определения,множество значений,нули функции,промежутки...

$f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 8x^2$

1) Функция определена при любом значении независимой переменной:

$x \in \mathbb{R}$

2) Найдём нули функции:

$f(x) = \frac{1}{2}x^2(x^2 - 16) = \frac{1}{2}x^2(x - 4)(x + 4)$

Функция имеет три корня:

$x_1 = 0, x_2 = 4, x_3 = -4$

3) Определим промежутки знакопостоянства:

$f'(x) = \frac{4}{2}x^3 - 8*2x = 2x^3 - 18x =\\\\ = 2x(x^2 - 8) = 2x(x - 2\sqrt{2})(x + 2\sqrt{2})\\\\ ? \ ? \ ? \ [-2\sqrt{2}] \ ? \ ? \ ? \ [0] \ ? \ ? \ ? \ [2\sqrt{2}] \ ? \ ? \ ?\\\\ f'(1) = 2*1(1 - 8) = -14 < 0\\\\ --- [-2\sqrt{2}] +++ [0] --- [2\sqrt{2}] +++$

Функция возрастает, когда

$x \in (-2\sqrt{2}; 0) \ \cup \ (2\sqrt{2}; +\infty)$

Функция убывает, когда

$x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \ \cup \ (0; 2\sqrt{2})$

4) Найдём область значений функции. Проверим точки экстремума функции и значения при стремлении аргумента к плюс и минус бесконечности. Т.к. функция чётная, $f(x) = f(-x)$ :

$f(2\sqrt{2}) = f(-2\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(2\sqrt{2})^4 - 8*(2\sqrt{2})^2 = \frac{64}{2} - 8*8 = 32 - 64 = -32\\\\ f(0) = 0\\\\ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) =\lim\limits_{x \to -\infty}f(x) = +\infty$

Тогда:

$f(x) \in [-32; +\infty)$