9)
lim(х^1/3) = 3 ε = 1
x->27
В соответствии с определением предела можно записать
|f(x) − L| < ε, если |x−27| < δ
f(x) = (х^1/3); L =3
Подставляя f (x) и ε, получаем
|(х^1/3) -3| < 1
-1 < (х^1/3) -3 < 1<br>-1+3< (х^1/3) -3 < 1+3<br> 2 < (х^1/3) < 4<br>возведём в степень 3 все части неравенства
2³ < (х^1/3)³ < 4³<br>8 < х < 64<br>вычтим 27 из всех частей неравенства
8-27 < х-27 < 64-27<br>-19 < х-27 < 37<br>что эквивалентно неравенству
|х-27| < 19
Мы нашли для числа ε = 1 число δ =19 , такое что выполняется
неравенство |(х^1/3) -3| < 1, для всех x, удовлетворяющих условию
|x−27| < 19
т. о. показали , что lim(х^1/3) = 3 , приняв ε = 1
x->27
проверка:
если
-19 < х-27 < 19
8 < х < 46
(х^1/3) = (8)^1/3 =2
(х^1/3) = (46)^1/3 = 3,6
то 2 < f(x) < 3,6 тут 3,6<4<br>10)
lim(5^x) = 25 ε = 100
x->2
|f(x) − L| < ε, если |x−2| < δ
f(x) = 5^x; L = 25
Подставляя f (x) и ε, получаем
|5^x -25| < 100
-100 < 5^x -25 < 100<br>-100+25< 5^x < 100+25 , но всегда 5^х > 0
0 < 5^x < 125<br>5^x < 125
5^x < 5^3<br>x < 3
|x−2| < δ
δ = 1
|x−2| < 1
-1 < x−2 < 1
Мы нашли для числа ε = 100 число δ = 1 , такое что выполняется
неравенство |5^x − 25| < 100, для всех x, удовлетворяющих условию
|x−2| < 1
т. о. показали , что lim(5^x) = 25 , приняв ε = 100
x->2