Окружность, проходящая через вершину C треугольника ABC, касается AB в точке L и...

Question

Окружность, проходящая через вершину C треугольника ABC, касается AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найти AC и BC, если AB = 12, PQ = 9, AP = 4 и прямая PQ параллельна прямой AB.

Answer 1

1) тр-ки CAB и CPQ подобны, поэтому CP/CA = PQ/AB; CP/(CP + 4) = 9/12;
CP = 12; AC = 16;
2) так как AL - касательная, а AC - секущая, то AL^2 = AP*AC; AL^2 = 16*4;
AL = 8; BL = 12 - 8 = 4;
3) осталось найти BC; кажется, что надо "раскручивать" все в обратном порядке для касательной BL и секущей BC; но есть способ на много проще.
Дело в том, что, поскольку хорда PQ параллельна касательной AB, то точка L делит дугу PQ пополам. Это означает, что CL - биссектриса угла ACB, и 
CB/CA = BL/AL; CB = AC/2 = 8;