Приведите пример таких положительных иррациональных чисел а и b (a,b>0) ,чтопри любом...

Question

Приведите пример таких положительных иррациональных чисел а и b (a,b>0) ,что
при любом натуральном n
{a*n}+{b*n}=1 (Можно привести экзотический пример с логарифмами)

Comments

я ваш диалог не очень понял

---

понятно

---

попробую завтра подумать

---

В моей постановке было бы, наверно: найти множество частичных пределов последовательности {an}+{bn}, где a, b - иррациональные числа.Известно, что {r*n} распределено равномерно на [0,1) (при условии, что r - иррационально), тогда верхний предел последовательности должен быть равен двойке, если {an} и {bn} независимы. Но что значит независимость в данном случае? Просто несоизмеримость a и b? Скорее всего, да. Но кто знает.

Answer 1

Подойдут, например, (ln π) и (2014 - ln π) или lg2 и lg5 - любые 2 иррациональных числа, сумма которых является целым числом.

Если рассмотреть a и (m - a)  (а иррационально, m целое), то {(m - a) n} = {mn - an} = {1 - an}, так что {an} + {1 - an} = 1

Comments

Я почти уверена, что, например, sqrt(2) и sqrt(3) подойдут, но доказательство бы придумать простое...

---

верхний предел = 2 значит, что около двойки есть бесконечно много членов последовательности

---

Так понятно, что точной двойки и не должно быть (иначе a, b - как минимум рациональны?). Но надо доказать (или опровергнуть), что для любого e>0 найдутся такие a,b - иррациональные, чтобы для бесконечного числа членов последовательности x_n = {a*n} + {b*n} выполнялось x_n > 2-e