Сложив почленно левые и правые части этих равенств, получим ?

У вас в самом начале ошибка, потому и не получается - там не (2k+6), а (2k+5). В итоге должно получиться $A=\frac18,\;B=-\frac28,\;C=\frac18$
Следовательно
$\frac1{(2n+3)(2n+5)(2n+7)}=\frac18\left(\frac1{(2n+3)}-\frac2{(2n+5)}+\frac1{(2n+7)}\right)$
Сумма правых частей будет $\frac18\cdot\left(\frac15-\frac17-\frac1{(2n+5)}+\frac1{(2n+7)}\right)$