M₁ = ρV₁
m₂ = ρV₂
ρ - плотность стекла
Mассы кубиков отличаются в 64 раза. Это значит, что меньшую массу нужно умножить на 64, чтобы получить массу большего кубика:
m₂ = 64·m₁
Пусть ребро большего кубика в n раз больше ребра меньшего:
a₂ = n·a₁
Тогда объём большего кубика будет:
V₂ = a₂³ = (n·a₁)³ = n³·(a₁)³ = n³·a₁³
Но объем меньшего кубика как раз и равен
V₁ = a₁³
Значит,
V₂ = n³·a₁³ = n³·V₁
m₂ = ρ·V₂ = ρ·n³·V₁ = n³·ρ·V₁
m₂ = n³·ρ·V₁
Но ρ·V₁ = m₁
Значит,
m₂ = n³·m₁
По условию,
m₂ = 64·m₁
Значит,
n³ = 64
Значит, n = 4, потому что 4X4X4 = 4³ = 64
Следовательно, ребро кубика с массой, в 64 раза большей, больше ребра меньшего кубика в ∛64 = 4 раза.
Все эти говорения можно было бы расписать в одну строчку отношений
m₂/m₁ = 64m₁/m₁ = 64 = ρV₂/ρV₁ = V₂/V₁ = (a₂)³/(a₁)³ = (na₁/a₁)³ = n³(a₁/a₁)³ = n³
64 = n³
n = ∛(64) = 4
Если массы кубиков из стекла отличаются в 64 раза, то величины ребер кубиков отличаются в 4 раза.
Поскольку массы кубиков стекла пропорциональны объёму (при одинаковой плотности), и, поскольку объёмы пропорциональны третьей степени величины граней, то величины граней соотносятся как кубы третьей степени из соотношений масс.
Вообще-то это частный случай более общего правила: отношение объёмов равно отношению линейных размеров в третьей степени. А то, что справедливо для объёмов, справедливо и для масс - если речь идёт о массах тел одинаковой плотности, конечно.