Сначала находим общее решение однородного уравнения
y'+tgx*y=0.
Разделяем переменные
dy/y = -tgx*dx
интегрируя, получаем y=C*cos(x)
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
y0=f(tg(x))*cos(x), Где f - неизвестная дифференцируемая функция от аргумента "tg(x)"
дифференуируем: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*df/d(tg(x))
во втором слагаемом раскрываем производную сложной функции:
получим: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*(df/d(tg(x))*(d(tg(x))/dx) =
далее опускаем аргумент функции f(tg(x))
-sin(x)*f+1/cos(x)*df/d(tg(x))
Подставив y0' и y0 в исходное уравнение, получим, что многое сократится и производная df/d(tg(x)) = 1, откуда f=tg(x)
Ответ: y= C*cos(x)+ tg(x)*cos(x)