1. Найти сумму ряда: 3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+... 2. Исследовать сходимость рядов **...

0 голосов
81 просмотров

1. Найти сумму ряда:

3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+...

2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков:

а) \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}

б) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{n(n+1)}

в) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n+1}}{{n!}

г) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n}}{{n!}

3. Определить тип уравнения и найти его частное решение:

x^{2}(y+1)dx+(x^{3}-1)(y-1)dy=0

y(2)=1

image
Математика (15 баллов) | 81 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

1. Сумма ряда состоит из разности сумм двух беконечно убывающих геометр. прогрессий:

3 + 3/2 + 3/4 +....      b1 = 3,  q = 1/2       S1 = b1/(1-q) = 6

1/3 + 1/6 + 1/12 + ....b1 = 1/3, q = 1/2    S2 = b1/(1-q) = 2/3

S = S1 - S2 = 6 - 2/3 = 16/3.

Ответ: 16/3.

2.  

а) ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

an не стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.

б) Воспользуемся признаком сравнения:

1/кор[n(n+1)] больше 1/(n+1)   И так как гармонический ряд с аn = 1/(n+1) - расходится, то и расходится заданный ряд.

в) По признаку Даламбера

\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1}=0

Ряд сходится.

г) Проверим необходимое условие:

\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n!}=\infty\

Следовательно ряд расходится.

3. Линейное уравнение в полных дифференциалах. Решается методом разделения переменных и последующего интегрирования:

\frac{x^2dx}{x^3-1}=-\frac{(y-1)dy}{y+1}. \frac{1}{3}\ln(x^3-1) = 2\ln(y+1)-y+C

Или:

\ln(x^3-1) = 6\ln(y+1)-3y+C

Это решение в виде функции заданной в неявном виде. Найдем С из начального условия:

у(2)=1

C = \ln7-6\ln2+3.

Тогда ответ:

\ln(x^3-1)=6lny-3y+(ln7-6ln2+3)

(84.9k баллов)
Похожие задачи