Найдите множество значений функции y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1)

Question

Найдите множество значений функции

y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1)

Answer 1

Преобразуем к виду:

у = 1 + 1/(2*x^2+2*x+1).

Исследуем квадратичнкю функцию:

у1 = 2*x^2+2*x+1.

D меньше 0.

Пересечений с осью х - нет.

Минимальное значение принимает в вершине:

при хm = -1/2   y1m = 1/2   -  1  +  1 = 1/2

Это значение соответствует:

y max = 1 + 1/(1/2) = 3.

 Максимальное значение Y1 не существует и стремится к бесконечности.

В таком случае минимальное значение У стремится к (1+ 1/беск) = 1

Ответ:  E(y):  (1; 3]

Answer 2

Решение: y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1)=(2*x^2+2*x+1+1)/(2*x^2+2*x+1)=

=1+1\(2*x^2+2*x+1)

 

(2*x^2+2*x+1)=2*(x^2+x+1\4)-2*1\4+1=2*(x+1\2)^2+1\2>=1\2

так как (x+1\2)^2>=0 для любого действительного х как парная степень выражения неотрицательна

2*(x+1\2)^2>=0 для любого действительного х

2*(x+1\2)^2+1\2>=0+1\2=1\2 для любого действительного х

 

0<1\(2*x^2+2*x+1)<=1\(1\2)=2</p>

0<1\(2*x^2+2*x+1)<=2 для любого действительного х</p>

1=1+0<1+1\(2*x^2+2*x+1)<=1+2=3 для любого действительного х</p>

1<1+1\(2*x^2+2*x+1)<=3 для любого действительного х</p>

 

отсюда множество значений данной функции

y=(2*x^2+2*x+2)/(2*x^2+2*x+1) 

лежит от 1 невключительно до 3 включительно