В каком варианте указанные равенства не могут выполняться одновременно? 1. sin альфа =...

Для одного и того же угла должно выполняться основное тригонометрическое тождество, называемое ещё тригоометрической единицей. Поэтому проверяем его.
$sin^2 \alpha +cos^2 \alpha =1$

$1)\; (\frac{\sqrt2}{\sqrt6})^2+(\frac{2}{\sqrt6})^2=\frac{2}{6}+\frac{4}{6}=\frac{6}{6}=1$

Выполняется.
2) Условие написано то же, что и в 1 пункте.

$3)\; (\frac{2}{\sqrt6})^2+(\frac{\sqrt3}{\sqrt6})^2=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}\ne 1$

Не выполняется.

$4)\; \; (\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt3}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$

Выполняется.