Надо ли ставить запятую? ...и определяли кто быстрей добежит до березки.
Да. Это сложное предложение
То-есть надо писать"...и определяли, кто быстрей добежит до березки. "
Нужно ставить запятую перед союзом КТО, т.к. это сложноподчиненное предложение.