Периметр прямоугольного треугольника равен 90см,а радиус вписанной окружности 4 см.Найти...

Question

Дано ответов: 2

Christy_zn · Answer 1 · 2018-01-28T09:33:20+0000

Пусть а см и b см - длины катетов, с см - длина гипотенузы.
Для прямоугольного треугольника:
r=(a+b-c)/2,
(a+b-c)/2=4.
a+b-c=8,
a+b=c+8.
Используем периметр треугольника:
a+b+c=90,
a+b=90-с.
Значит, c+8=90-с, 2с=82, с=41.
a+b=90-с=90-41=49.
b=49-a.
По теореме Пифагора
a^2+b^2=c^2,
a^2+(49-a)^2=41^2,
a^2+2401+a^2-98а=1681,
2*a^2-98а+720=0,
a^2-49а+360=0,
а1=40, а2=9,
b1=49-40=9, b2=49-9=40.
Ответ: 9 см и 40 см.

Ирасик_zn · Answer 2 · 2018-01-28T09:33:21+0000

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

$r=\frac{a+b-c}{2}$

2r = a+b-c

a+b-c = 8

a+b = c+8

Периметр треугольника равен

a+b+c = P

a+b+c = 90

a+b = 90-c

Так как левые части выделенных равенств равны, приравниваем правые части и находим гипотенузу с.

с+8=90-с

с+с=90-8

2с=82

с=41

2. Составим систему уравнений, где а и b - катеты.

Первое уравнение составим из первого выделенного равенства, подставив вместо с число 41: a+b=41+8; a+b=49

Второе уравнение составим, используя теорему Пифагора:

а²+b² = 41²

a²+b² = 1681

Получили систему уравнений:

$\left \{ {{a+b=49} \atop {a^2+b^2=1681}} \right$ ⇔ $\left \{ {{b=49-a} \atop {a^2 + (49-a)^2 = 1681}} \right$

a²+(49-a)²=1681

a²+2401-98a+a²-1681=0

2a²-98a+720=0 /2

a²-49a+360=0

D=2401-1440=961

a₁ = (49-31)/2 = 9 b₁ = 49-9 = 40

a₂ = (49+31)/2 = 40 b₂ = 49-40 = 9

Ответ. Катеты равны 9 см и 40 см.