4cos^3x+3корень из 2 sin2x=8cosx

Question 1

Question 2

$4\cos^3x+3\sqrt{2}\sin 2x=8\cos x\\ \\ 4\cos^3x+6\sqrt{2}\sin x\cos x-8\cos x=0\\ \\ 2\cos x(2\cos^2x+3\sqrt{2}\sin x-4)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль.
$\cos x=0~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~\boxed{x_1= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z} }$

$2\cos^2x+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2(1-\sin^2x)+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2-2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2\sin^2x-3\sqrt{2}\sin x+2=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно sin x

$D=b^2-4ac=(-3\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 2=18-16=2$

$\sin x= \dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot 2} =\sqrt{2}$
Это уравнение решений не имеет так как синус принимает свои значения [-1;1],

$\sin x= \dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\cdot 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} ~~~\Rightarrow~~~~~~\boxed{x_2=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z} }$

аноним · Answer 1 · 2018-03-27T18:26:07+0000

$4\cos^3x+3\sqrt{2}\sin 2x=8\cos x\\ \\ 4\cos^3x+6\sqrt{2}\sin x\cos x-8\cos x=0\\ \\ 2\cos x(2\cos^2x+3\sqrt{2}\sin x-4)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль.
$\cos x=0~~~~~~\Rightarrow~~~~~~~\boxed{x_1= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z} }$

$2\cos^2x+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2(1-\sin^2x)+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2-2\sin^2x+3\sqrt{2}\sin x-4=0\\ \\ 2\sin^2x-3\sqrt{2}\sin x+2=0$
Решим последнее уравнение как квадратное уравнение относительно sin x

$D=b^2-4ac=(-3\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 2=18-16=2$

$\sin x= \dfrac{3\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2\cdot 2} =\sqrt{2}$
Это уравнение решений не имеет так как синус принимает свои значения [-1;1],

$\sin x= \dfrac{3\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\cdot 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} ~~~\Rightarrow~~~~~~\boxed{x_2=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z} }$