1) Докажите тождество, указав область его...

Question

1) Докажите тождество, указав область его определения:

1+cos(b)-sin(b)-ctg(b)=(1-ctg(b)(1-sin(b))

2) Найдите sin(a)-cos(a), если sec^2(a)+cosec^2(a)=6.25 и a(альфа) принадлежит (п; 5п/4)

Answer 1

1)  Перемножим правую часть и убедимся в ее тождественном совпадении с левой:

1 + cosb - sinb - ctgb = 1 - ctgb - sinb + cosb.  что и треб. доказать.

Область определения: sinb не равен 0. b не равен Пк, к прин. Z

2) 1/cos^2(a)  +  1/sin^2(a) = 6,25

1/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 6,25

cosa * sina = 0,4  (берем с плюсом так как произведение синуса на косинус для угла в III четверти положительно).

sin2a / 2 = 0,4   sin2a = 0,8

Теперь возведем в квадрат искомое выражение, запомнив, что по знаку оно положительно(так как cosa и sina отрицательны, но cosa по модулю больше на данном промежутке).

(sina - cosa)^2 = 1 - sin2a = 1 - 0,8 = 0,2

Теперь извлекаем корень и берем его с плюсом:

(sina - cosa) = кор(0,2) = (кор5)/5

Ответ: (кор5)/5

Answer 2

1. Так как ctg b = cos b/sin b, область определения будет: sin b≠0

                                                                                           b≠πn, n∈Z

Группируем левую часть и выносим общий множитель за скобки.

(1-sin b) - (ctg b - cos b) = 1(1-sin b) - ctg b (1-sin b) = (1-ctg b)(1-sin b), что и требовалось доказать. 

 

2. Преобразовываем данное равенство.

1/cos²a + 1/sin²a = 6,25
1/(cos²a · sin²a) = 6,25
sin² a · cos² a = 0,16
Учитывая данную область определения, получаем:

sin a · сos a = 0,4 
Используя формулу двойного угла, имеем:
sin 2a /2 = 0,4

sin 2a = 0,8
1 - sin 2a = 1 - 0,8

1 - sin 2a = 0,2

sin² a - 2sin a cos a + cos² a = 0,2
(sin a - cos a)² =  0,2
Учитывая область определения, получаем:
sin a - cos a = √(0,2) = √5 / 5

Ответ. √5 / 5