Находим производную
![y`=( \frac{ x^{2} +4}{x})`=[( \frac{u}{v})`= \frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v ^{2} } ]= \frac{( x^{2} +4)`\cdot x-( x^{2} +4)\cdot x`}{ x^{2} }= \frac{ 2x \cdot x-( x^{2} +4)\cdot 1}{ x^{2} }= \\ = \frac{ x^{2} - 4}{ x^{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=y%60%3D%28+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+%2B4%7D%7Bx%7D%29%60%3D%5B%28+%5Cfrac%7Bu%7D%7Bv%7D%29%60%3D+%5Cfrac%7Bu%60%5Ccdot+v-u%5Ccdot+v%60%7D%7Bv+%5E%7B2%7D+%7D+%5D%3D+%5Cfrac%7B%28+x%5E%7B2%7D+%2B4%29%60%5Ccdot+x-%28+x%5E%7B2%7D+%2B4%29%5Ccdot+x%60%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%3D+++%5Cfrac%7B+2x+%5Ccdot+x-%28+x%5E%7B2%7D+%2B4%29%5Ccdot+1%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D%3D++%5C%5C+%3D+%5Cfrac%7B+x%5E%7B2%7D+-+4%7D%7B+x%5E%7B2%7D+%7D+++ "y`=( \frac{ x^{2} +4}{x})`=[( \frac{u}{v})`= \frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v ^{2} } ]= \frac{( x^{2} +4)`\cdot x-( x^{2} +4)\cdot x`}{ x^{2} }= \frac{ 2x \cdot x-( x^{2} +4)\cdot 1}{ x^{2} }= \\ = \frac{ x^{2} - 4}{ x^{2} }")
Приравниваем производную к нулю. Знаменатель не должен равняться 0, приравниваем числитель
х²-4=0
х=-2 и х =2 - точки возможного экстремума.
Так как точка 2∉[-4;-1]
То исследуем на экстремум точку х=-2
[-4]-------(-2)-----[-1]
при х=-3 у`=(-3)²-4/(-3)²>0
при х=-1,5 y`=(-1,5)²-4/(-1,5)²<0<br>Производная меняет знак с + на -
х=-2 - максимум
f(-2)=((-2)²+4)/(-2)=8/(-2)=-4
при х=-4
f(-4)=((-4)²+4)/(-4)=(20)/(-4)=-5
при х=-1
f(-1)=((-1)²+4)/(-1)=-5
Наибольшее значение в точке х=-2 равно -4
Наименьшее значение на концах отрезка в точках х=-4 и х=-1 равно -5