Решите уравнение с пояснениями

Решите задачу:

$x^{2} + \frac{1}{ x^{2} }- \frac{1}{2}(x- \frac{1}{x} )=3 \frac{1}{2} \\ x^{2} -2+ \frac{1}{ x^{2} }+2- \frac{1}{2}(x- \frac{1}{x} )=\frac{7}{2} \\ x^{2} -2*x* \frac{1}{x} + \frac{1}{ x^{2} }+2- \frac{1}{2}(x- \frac{1}{x} )=\frac{7}{2} \\ (x- \frac{1}{x} )^2+2- \frac{1}{2}(x- \frac{1}{x} )=\frac{7}{2} \\ x- \frac{1}{x} =t \\ t^2+2-\frac{1}{2}t-\frac{7}{2} =0|*2 \\ 2t^2+4-t-7=0 \\ 2t^2-t-3=0 \\ D=1+4*2*3=25=5^2 \\ t_1= \frac{1+5}{4}= \frac{3}{2} \\ t_2= \frac{1-5}{4}= -1 \\$

$x \neq 0 \\ x- \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \ |*2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x- \frac{1}{x} =-1 \ |*x \\ 2 x^{2} -3x-2=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x^{2} +x-1=0 \\ D=9+4*2*2=25=5^2 \ \ \ \ D=1+4=5= \sqrt{5} ^2 \\ x_1=2; \ x_2=-0,5; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3= \frac{-1- \sqrt{5} }{2}; \ x_4= \frac{-1+ \sqrt{5} }{2}$