Выражение 5*2^(x-1) - 2*5^(y+1) = - 75/8 преобразуем:
(5*2^x / 2) - 2*5*5^y = -75/8.
Из второго уравнения определим 5^y = (17/16) - 4^x = (17/16) - 2^(2x)
Подставим это значение в 1 уравнение:
2,5*2^x - 10((17/16) - 2^(2x)) = -75/8
2,5*2^x - 5*17/8 + 10*2^(2x)) = -75/8.
Приведем к общему знаменателю:
2,5*8*2^x - 85 + 80* 2^(2x) = -75
Произведём замену неизвестной - z = 2^x.
Тогда 80 z^2 + 20 z - 10 = 0, после сокращения на 10:
8 z^2 + 2 z - 1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно z:
Ищем дискриминант:D=2^2-4*8*(-1)=4-4*8*(-1)=4-32*(-1)=4-(-32)=4+32=36;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
z_1=(√36-2)/(2*8)=(6-2)/(2*8)=4/(2*8)=4/16=0.25;
z_2=(-√36-2)/(2*8)=(-6-2)/(2*8)=-8/(2*8)=-8/16=-0.5.
Преобразуем значения корней:
z_1 = 1/4 = 1/2² = 2⁻²,
Второй корень отбрасываем, так как 2^x не может быть отрицательным числом.
Подставляем значение z: 2^x = 2⁻².
Отсюда получаем решение: х = -2.
Значение у находим из второго уравнения:
5^y = (17/16) - 4^(-2) = (17/16) - 1/16 = 1.
Это возможно при у = 0.