Если натуральное число не кратно 3, значит оно делится на 3 с остатком 1 или 2. То есть его можно представить в виде: (3к+1) или (3к+2), где к - натуральный индекс.
Проверим каждый из вариантов:
1) (3k+1)^2 - 1 = (3k+1-1)(3k+1+1) = 3k(3k+2) - делится на 3.
2) (3k+2)^2 - 1 =(3k+2-1)(3k+2+1) = (3k+1)(3k+3) = 3(3k+1)(k+1) - делится на 3.
Что и требовалось доказать.