Решите систему с параметром a x^2+2y=4 y^2+xy=ay+ax

Question

Решите систему с параметром a

x^2+2y=4

y^2+xy=ay+ax

Answer 1

Второе уравнение системы разложим на множители:

(х+у)(у-а) = 0

Таким образом исходная система разбивается на две:

x^2 = 4 - 2y                                             x^2 = 4 - 2y

y = -x                                                       y = a

 

x^2 - 2x - 4 = 0                                    при a<2: (кор(4-2а); а),(-кор(4-2а);а)</p>

y = -x                                                  при а = 2  (0;а)

решения:(1-кор5;кор5 -1)                   при a>2 нет решений

              (1+кор5;-1-кор5)

а - любое число.

Объединим все ответы:

Ответ: при a<2  (1-кор5;кор5 -1),  (1+кор5;-кор5 -1)</strong>

                         (кор(4-2а); а),(-кор(4-2а);а)  

           при а=2 (1-кор5;кор5 -1),  (1+кор5;-кор5 -1), (0;2).

           при a>2 (1-кор5;кор5 -1),  (1+кор5;-кор5 -1).

Answer 2

Рассмотрим второе уравнение

y^2+xy=ay+ax , разложив на множители

y(x+y)=a(x+y)

отсюда

y=a или  x=-y

1 случай y=a

x^2+2a-4=0   (неполное квадратное уравнение)

x^2=4-2a (преобразовали к виду x^2=A и в зависимости от А рассматриваем три случая)

(4-2a<0) a>2 -решений нет

(4-2a=0) a=2 x=0 y=2

(4-2a>0) a<2 x=(+\-) sqrt(4-2a) y=a</p>

2 случай x=-y     a Є R (а любое действительное число)

x^2-2x-4=0

D=4+16=20

x1=1+sqrt(5) y1=-1-sqrt(5)

x2=1-sqrt(5)  y2=-1+sqrt(5)

Отсюда

Ответ: при a<2 решения(sqrt(4-2a);a), (-sqrt(4-2a);a),</p>

(1+sqrt(5);-1-sqrt(5)),(1-sqrt(5);-1+sqrt(5))

при а=2 решения (0;2),(1+sqrt(5);-1-sqrt(5)),(1-sqrt(5);-1+sqrt(5))

при a>2 решения (1+sqrt(5);-1-sqrt(5)),(1-sqrt(5);-1+sqrt(5))

 

sqrt - корень квадратный