15 БАЛЛОВ за 5 примеров.Задания из контрольной работы для института. Примеры с пределами.

1)
$lim_{x\to\infty}(\frac{5x+2}{3x^4+7x^2+2})=lim_{x\to\infty}(\frac{5x}{3x^4+7x^2})=lim_{x\to\infty}\frac{5x}{x(3x^3+7x)}=\\=lim_{x\to\infty}(\frac{5}{3x^3+7x})=0$

2)
$lim_{x\to5}(\frac{5x^2-26x+5}{x^2-2x-15})=lim_{x\to5}(\frac{5(x-5)(x-\frac{1}{5})}{(x-5)(x+3)})=lim_{x\to5}(\frac{5x-1}{x+3})=\\=\frac{5*5-1}{5+3}=3$

3)
$lim_{x\to0}(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x})=[\frac{0}{0}]=lim_{x\to0}(\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})'}{(x)'})=\\=lim_{x\to0}(\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1})=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}+\frac{1}{2\sqrt{1-0}}=1$

4)
$lim_{x\to0}\frac{1-cos6x}{x^2}=[\frac{0}{0}]=lim_{x\to0}(\frac{(1-cos6x)'}{(x^2)'})=lim_{x\to0}(\frac{6sin6x}{2x})=[\frac{0}{0}]=\\=lim_{x\to0}(\frac{(3sin6x)'}{(x)'})=lim_{x\to0}(\frac{3*6cos6x}{1})=18*cos(6*0)=18*1=18$

5)
$lim_{x\to\infty}(\frac{2x-3}{2x-2})^{3x-2}=e^{lim_{x\to\infty}((\frac{2x-3}{2x-2}-1)*(3x-2))}=\\=e^{lim_{x\to\infty}(-\frac{1}{2x-2})*(3x-2)}}=e^{lim_{x\to\infty}(-\frac{3x}{2x})}=e^{-\frac{3}{2}}$