Найдите все числа, которые в 13 раз больше суммы своих цифр.

Question

Найдите все числа, которые в 13 раз больше суммы своих цифр.

Answer 1

Начнем с 2-х-значных:

10х+у = 13х+13у, где х и у - натуральные числа от 1 до 9 и 0(для разряда единиц)

3х+12у = 0  - невыполнимо при натуральных х и у.

Переходим к 3-х-значным:

100х + 10у + z = 13x + 13y +  13z

87x = 3y+12z

29x = y + 4z

Видим, что х может быть равен только 1, так как при х>1, правая часть не будет равняться левой ( максимально возможное значение правой части при у = z = 9  и равно 45)

Итак получили: y+4z=29

Для y,z - натуральных от 1 до 9, очевидно, что z может равняться только 5,6,7

Тогда :

при z = 5, y =9

при z = 6, y = 5.

при z = 7, y = 1

Итак получились числа: 195;156;117

Для 4 и далее значных чисел рассмотрение задачи теряет смысл, так как максимально возможная сумма цифр 4-значного числа равно 9*4 = 36. И если его умножить на 13 ника не получится 4-значное число..

Ответ:  195;  156;  117.

Answer 2

Двузначные числа не подходят, так как в этом случае, так как в этом случае получаем уравнение

13 * (x + y) = 10 * x + y , которое не имеет положительных корней.

Четырехзначные тоже не подходят, так как сумма их цифр не превышает 36, а 36 * 13 = 468 < 1000.

Поэтому данное число - трехзначное и получаем уравнение

100 * x + 10 * y + z = 13 * (x + y + z)

87 * x - 3 * y - 12 * z = 0

y + 4 * z = 29 * x

Левая часть не превышает 50, поэтому х=1.

Тогда возможны такие варианты

1) y = 1 ,  z = 7

2) y = 5 ,  z = 6

3) y = 9 ,  z = 5

Итак, искомые числа  117, 156 и 195