Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника.
Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс
острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.Острый угол — меньший 90 градусов.Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается .
Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается
той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A,
обозначается .Угол обозначается соответствующей греческой буквой .Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике —
отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое,
отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса,
тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при
решении задач.
Давайте докажем некоторые из них.
Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .Возьмем теорему Пифагора: .Поделим обе части на :Мы получили основное тригонометрическое тождество.Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим:Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус.
Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий.
Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью.
Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать,
если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого)
и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности
и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все
стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами
треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции
по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов
треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике угол равен , . Найдите .
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , .2. В треугольнике угол равен , , . Найдите .
Имеем:
Отсюда
Найдем по теореме Пифагора.
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.