Напишите пять первых элементов последовательности, заданной общим элементов. Является ли...

0 голосов
316 просмотров

Напишите пять первых элементов последовательности, заданной общим элементов. Является ли данная последовательность монотонной, ограниченной, сходящейся.
x_{n} = \frac{n}{2^{n+1} }

Алгебра | 316 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
x_1=\frac{1}{4} ;\ x_2=\frac{2}{8} ;\ x_3=\frac{3}{16} ;\ x_4=\frac{4}{32} ;\ x_5=\frac{5}{64} .
Последовательность является строго монотонной (убывающей).
Снизу ограничена числом 0, а сверху числом 1.
Является сходящейся по признаку Даламбера.
\lim_{n\rightarrow +\infty }\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} =\lim_{n\rightarrow +\infty }(\dfrac{n+1}{2^{n+2}}*\dfrac{2^{n+1}}{n})= \\ =\dfrac{1}{2}\lim_{n\rightarrow +\infty }(1+\dfrac{1}{n})=\dfrac{1}{2} <1
(25.2k баллов)
0

x2=2/2^3=2/8=1/4; x3=3/2^4=3/16; x4=4/2^5=1/8; x5=5/2^6=5/64

оставил комментарий (5.2k баллов)
0

исправил, спасибо

оставил комментарий (25.2k баллов)
0

По признаку Даламбера ряд сходится, если предел отношения (n+1)го члена к n-му будет<1

оставил комментарий (5.2k баллов)
0

a(n+1)=(n+1)/2^(n+2); a(n+1)/a(n)=((n+1)/2^(n+2)):(n/2^(n+1))=((n+1)/2^(n+2))*(2^(n+1)/n)=1/2*(n+1/n)=1/2*(1+1/n). Предел 1/n равен 0 при n стрем к беск. Значит искомый предел равен 1/2, т.е. ряд сходится

оставил комментарий (5.2k баллов)
Похожие задачи