Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ BD равна 5, а синус тупого угла ADB равен...

Question

Дан параллелограмм ABCD. Его диагональ BD равна 5, а синус тупого угла ADB равен 4/5.Найдите площадь параллелограмма, если сторона CD равна корень из 41.

Answer 1

Согласно теореме синусов для треугольника ABD

sin ADB      sin BAD   

---------- = -----------

    AB             BD

В данном случае

   4 / 5       sin BAD

---------- = ----------  ,   откуда  sin BAD = 4 / √41

    √ 41          5

Угол  ADB - тупой, угол  BAD - острый, поэтому

cos ADB = - √(1 - (4/5)²) = -3/5

cos BAD = √(1 - (4/√41)²) = 5/√41

sin ABD = sin(ADB + BAD) = sin ADB * cos BAD + cos ADB * sin BAD =

= 4/5 * 5/√41 + (-3/5) * 4/√41 = (20 - 12) / (5 * √41) = 8 / (5 * √41)

Площади треугольников  ABD  и  CBD  равны, поэтому площадь

параллелограмма  ABCD

S = AB * BD * sin ABD = 5 * √41 * (8 / (5 * √41)) = 8