Простое глагольное сказуемое: 1) начали, 2) делается, 8) будут совершенствовать (потому что здесь один глагол, просто в будущей форме)
Составное глагольное сказуемое: 5) обещает быть, 6) должен трудиться, 7) начал разыскивать. Потому что здесь два глагола, один из которых - инфинитив.
Составное именное сказуемое: 3) делается душно, 4) обещает быть интересной. Глагол + именная часть речи.