Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.
Формулировка теоремы: Во всяком прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a иb, получаем следующее равенство:
a2 + b2 = c2
Таким образом, теорема Пифагора устанавливает соотношение, позволяющее определить сторону прямоугольного треугольника по двум другим.
Также верно обратное утверждение (называемое обратной теоремой Пифагора):
Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой что a2 + b2 = c2,существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
Доказательство
Известно более ста доказательств теоремы Пифагора. Ниже приведено доказательство основанное на теореме существования площади фигуры:
1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на этом рисунке.
2. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов равна 90°, а развернутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a + b), а с другой стороны сумме площадей четырех прямоугольных треугольников и внутреннего квадрата.
(a + b)2 = 4·(ab/2) + c2 (с учетом формулы для площади прямоугольного треугольника)
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
c2 = a2 + b2
Что и требовалось доказать.