Два шара с одинаковой массой m движутся перпендикулярно друг другу с одинаковой скоростью...

При неупругом столкновении шарики слепляются, выделяется некоторая энергия в тепло, но выполняется закон сохранения импульса в системе.
В векторном виде:
$P1 + P2 = P\\ mv_1+mv_2=2mV\\$
Спроецируем на горизонтальную и вертикальную оси:
$mv_0 = 2mV\cos\alpha\\mv_0=2mV \sin\alpha\\ (mv_0)^2+(mv_0)^2=(2mV\cos\alpha)^2+(2mV \sin\alpha)^2=4(mV)^2\\ V^2 = 2v_0^2/4=v_0^2/2\\V=v_0\sqrt2$