Докажите что уравнение "3x^2+3=7y" не имеет решений В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ

Преобразуем данное уравнения в функцию (зависимость y от x):
$3 x^{2} +3=7y$
$3( x^{2} +1)=7y$
$\frac{3}{7}(x^{2}+3)=y$
Т.к. перед скобкой стоит коэффициент 3/7, то целое решение может быть в том случае, когда выражение в скобке будет кратно +/-7. Выражение под скобкой не может быть равно -7а (где а - целое число), т.к. в таком случаем подкоренное выражение будет равно отрицательному числ. Проверим корень выражения в скобке на равенство 7:
$x^{2} +1=7$
$x=\sqrt{6}$
Т.е. в данном случае x - не целое число, а следовательно данное уравнение не имеет решения в целых числах.