Помогите,пожалуйста! Задание 1.Составить уравнение гиперболы,фокусы которой лежат ** оси...

0 голосов
91 просмотров

Помогите,пожалуйста!

Задание 1.Составить уравнение гиперболы,фокусы которой лежат на оси абсцисс,симметрично относительно начала координат,если
известно гипербола проходит через точку А(6,9),ее асимптоты y=(плюсминус)5/3x

Задание 2. Две стороны квадрата лежат на прямых 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13+0.Вычислите его площадь.

Математика (305 баллов) | 91 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Задача1.
 Каноническое уравнение гиперболы
\frac{ x^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{b ^{2} }=1, \\ b ^{2}=c ^{2}-a ^{2}
При этом ось ох проходит через фокусы.
Прямые у=±bx/a-  асимптоты гиперболы.
Значит,
\frac{b}{a}= \frac{5}{3}\Rightarrow b= \frac{5}{3}a
Уравнение гиперболы примет вид
\frac{ x^{2} }{a ^{2} } - \frac{y ^{2} }{( \frac{5}{3}a) ^{2} }=1,
для нахождения а  подставим координаты точки А(6;9) в последнее уравнение
\frac{ 6^{2} }{a ^{2} } - \frac{9 ^{2} }{( \frac{5}{3}a) ^{2} }=1,
\frac{ 36 }{a ^{2}} - \frac{81\cdot9 }{25a ^{2} }=1, \\ \frac{ 36 \cdot 25}{25a ^{2}} - \frac{81\cdot9 }{25a ^{2} }=1,
25a²=171
a ^{2}= \frac{171}{25} , \\ b ^{2}= \frac{25}{9}\cdot \frac{171}{25}= \frac{171}{9}
Уравнение гиперболы  принимает вид:
\frac{ x^{2} }{ \frac{ (\sqrt{171} }{5}) ^{2} } - \frac{y ^{2} }{ \frac{(\sqrt{171} }{3}) ^{2} }=1
Задача 2.
Прямые 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13=0 параллельны.
Сторона квадрата равна расстоянию между этими прямыми
Напишем уравнение такой прямой
Прямая перпендикулярная данным будет иметь вид:
y= \frac{4}{3}x+b
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Для нахождения b подставим координаты точки О:
0=0+b  ⇒  b=0
Итак, прямая задана уравнением
y= \frac{4}{3}x
Найдем точки пересечения этой прямой с данными
1) \left \{ {{3x+4y+22=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}} \right. \Rightarrow \left \{ {{3x+4\cdot \frac{4}{3}x+22=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \frac{25}{3}x =-22} \atop {y= \frac{4}{3}x}}}} \right. \\ x=- \frac{66}{25}, \\ y=- \frac{88}{25}
Получили точку M(- \frac{66}{25}; -\frac{88}{25})
2) \left \{ {{3x+4y-13=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}} \right. \Rightarrow \left \{ {{3x+4\cdot \frac{4}{3}x-13=0} \atop {y= \frac{4}{3}x}}} \right. \Rightarrow \left \{ {{ \frac{25}{3}x =13} \atop {y= \frac{4}{3}x}}}} \right. \\ x= \frac{39}{25}, \\ y= \frac{52}{25}
Получили точку N( \frac{39}{25}; \frac{52}{25})
Найдем |MN|
|MN|= \sqrt{(x_N-x_M) ^{2} +( y_N-y_M) ^{2}} = \sqrt{( \frac{39}{25}+ \frac{66}{25}) ^{2} +( \frac{52}{25}+ \frac{88}{25}) ^{2}}= \\ = \sqrt{( \frac{105}{25}) ^{2} +( \frac{140}{25})^{2}}= \frac{175}{25}=7
S(квадрата)=7²=49



(414k баллов)
Похожие задачи