Вычислите если

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Так как
$\frac{ \pi }{2}< \frac{ \pi }{6} - \alpha < \pi,$
то
$\frac{ \pi }{2}- \frac{ \pi }{6}< - \alpha < \pi- \frac{ \pi }{6}, \\ \frac{ 2\pi }{6}< - \alpha < \frac{5 \pi }{6}, \\ -\frac{ 5\pi }{6}< \alpha < - \frac{2 \pi }{6}$
Угол α в четвертой четверти и косинус имеет знак +
Применим формулу
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ

$sin( \frac{ \pi }{6}- \alpha)=sin \frac{ \pi }{6} \cdot cos \alpha - cos \frac{ \pi }{6} \cdot sin \alpha = \frac{cos \alpha }{2} - \frac{sin \alpha \sqrt{3} }{2}$

Решаем уравнение
$\frac{cos \alpha }{2} - \frac{sin \alpha \sqrt{3} }{2} = \frac{2 \sqrt{2} }{3}$
Умножаем на 6 и заменим синус и косинус по формуле половинного аргумента
$3cos \alpha -3 \sqrt{3}sin \alpha =4 \sqrt{2}, \\ 3(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )-6 \sqrt{3}sin \alpha\cdot cos \alpha =4 \sqrt{2} (cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} ) \\$
$3(cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )-6 \sqrt{3}sin \frac{ \alpha }{2} \cdot cos \frac{ \alpha }{2} =4 \sqrt{2} (cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}+sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} )$

$(3-4 \sqrt{2}) cos ^{2} \frac{ \alpha }{2}-6 \sqrt{3}sin \frac{ \alpha }{2} \cdot cos \frac{ \alpha }{2} -(3+4 \sqrt{2}) sin ^{2} \frac{ \alpha }{2} =0$
Однородное уравнение второй степени, делим на cos²(α/2)

$(3-4 \sqrt{2}) -6 \sqrt{3}tg \frac{ \alpha }{2} -(3+4 \sqrt{2})tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} =0, \\(3+4 \sqrt{2})tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} +6 \sqrt{3}tg \frac{ \alpha }{2} -(3-4 \sqrt{2})=0 \\ D=(6 \sqrt{3}) ^{2}+4(3+4 \sqrt{2})(3-4 \sqrt{2}) =108+4(9-32)=16$

$tg \frac{ \alpha }{2}= \frac{-6 \sqrt{3}-4 }{2(3+4 \sqrt{2}) } , \\ tg \frac{ \alpha }{2}= \frac{-6 \sqrt{3}+4 }{2(3+4 \sqrt{2}) }$
$cos \alpha = \frac{1-tg \frac{ \alpha }{2} ^{2} }{1+tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} }$
$cos \alpha = \frac{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}-(6 \sqrt{3}+4) ^{2} }{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}+(6 \sqrt{3}+4) ^{2}}= \\ \frac{40+96 \sqrt{2} -48 \sqrt{3} }{288+96 \sqrt{2}+48 \sqrt{3} }$
или
$cos \alpha = \frac{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}-(6 \sqrt{3}-4) ^{2} }{4(3+4 \sqrt{2}) ^{2}+(6 \sqrt{3}-4) ^{2}}= \\ \frac{40+96 \sqrt{2} +48 \sqrt{3} }{288+96 \sqrt{2}-48 \sqrt{3} }$

2 способ
Неравенство относительно угла α, полученное в первом решении остается справедливым.
Считая, что угол в 4 четверти находим решение уравнения
$\frac{ \pi }{6} - \alpha = \pi -arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}+2 \pi k,k\in Z$
Возьмём только одно значение
$\alpha =arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}- \frac{5 \pi }{6} , \\ cos \alpha =cos(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3}- \frac{5 \pi }{6})= \\ =cos(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3})cos \frac{5 \pi }{6}+sin(arcsin \frac{2 \sqrt{2} }{3})sin \frac{5 \pi }{6} = \\ =- \frac{1}{3}\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} + \frac{2 \sqrt{2} }{3}\cdot \frac{1}{2}= \frac{2 \sqrt{2}-3 }{6}$

nafanya2014_zn (413k баллов) 28 Март, 18