из равнобудренной трапеции с основаниями равными 13 и 31 см и боковой стороной 17...

ABCD - равноб. трапеция. АD = 31, BC = 13, AB=CD = 17. Проведем высоты: ВК и СМ.

Тогда из равенства тр-ов АВК и СМD следует, что АК = MD = (31-13)/2 = 9.

Найдем высоту из пр. тр. АВК по теореме Пифагора:

ВК = кор(AB^2-AK^2) = кор(289-81) = кор208 = 4кор13.

Найдем площадь трапеции:

s = (31+13)*(4кор13)/2 = 88кор13.

Тогда, вырезав из трапеции круг радиуса r, получим фигуру, площадью:

S = s - пr^2 = 88кор13 - пr^2. Каким может быть r?

Проверим можно ли в данную трапецию вписать окружность:

Если в 4-ник можно вписать окружность, то у него суммы противоположных сторон равны.

31+13 = 44

17+17 = 34.

Суммы не равны. Значит окружность, касающуюся всех сторон трапеции вырезать не удастся. Поэтому максимально возможное значение радиуса вырезаемой окружности равно половине высоты:

r(max) = BK/2 = 2кор13.

Итак, ответ: $S\ =\ 88\sqrt{13}\ -\ \pi*r^2,\ \ \ \ r:\ (0;\ 2\sqrt{13}).$