1) неприкосновенный - -кас- пишется, если после корня идёт суффикс -А- (касаться), а здесь его нет, значит, пишется -кос-.
2) прилагаю - гласная зависит от следующей после неё согласной: -лаГ- / -лоЖ-.
3) отрасти - есть корень -рос-, а есть -раст-. Здесь как раз второй случай, где в корне 4 буквы.
4) слагать - то же,что №2.
5) отрасль - слово-исключение с корнем -рас- вместо -рос-.
6) промокать - -мок- используется в значении "делаться мокрым". Корень -мак- имеет значение "опускать, погружать в жидкость". Сравни: вымок и макнулся.