Сколько корней имеет уравнение без графиков... аналетически...

$(\sqrt{2})^x = x$

Запишем уравнение в виде $\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 2}{2}$ . Очевидно, что х=2 есть корнем данного уравнения.
Рассмотрим функцию $f(x)= \frac{\ln x}{x}$ . Имеем $f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2}$ , откуда получаем, что функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(0;e)$ и уюывает на промежутке $(e;+\infty)$ , причем $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} =0$ . Отсюда следует, что уравнение также имеет один корень на промежутке $(e;+\infty)$