Высказывание – более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на части, мы всегда получаем те или иные имена. Скажем, высказывание "Солнце есть звезда" включает в качестве своих частей имена "Солнце" и "звезда".
Понятие высказывания – одно из ключевых в логике. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных ее разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определенную ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.
Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. "Истина" и "ложь" называются истинностными значениями высказывания.
Из отдельных высказываний разными способами можно строить новые высказывания. Так, из высказываний "Дует ветер" и "Идет дождь" можно образовать более сложные высказывания "Дует ветер и идет дождь", "Либо дует ветер, либо идет дождь", "Если идет дождь, дует ветер" и т.п. Слова "и", "либо, либо", "если, то" и т.п., служащие для образования сложных высказываний, называются логическими связками.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.
Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей, и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные. В логике, однако, подход является обратным. Сначала рассматриваются способы построения сложных высказываний из более простых, при этом простое высказывание берется как неразложимое далее целое (как "атом"), и только затем переходят к выявлению строения простых высказываний. Анализ структуры сложных высказываний предшествует анализу структуры простых. Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определенное значение истинности. Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно легкой.
Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.
Перейдем теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.
Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причем, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот. Отрицательное высказывание состоит из исходного высказывания и отрицания, выражаемого обычно словами "не", "неверно, что". Отрицательное высказывание является, таким образом, сложным высказыванием: оно включает в качестве своей части отличное от него высказывание. Например, отрицанием высказывания "10 – четное число" является высказывание "10 не есть четное число" (или: "Неверно, что 10 есть четное число").
Будем обозначать высказывания буквами А, В, С, ..., отрицание высказывания – символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задается условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно. Например, так как высказывание "1 есть целое положительное число" истинно, его отрицание "1 не является целым положительным числом" ложно, а так как "1 есть простое число" ложно, его отрицание "1 не есть простое число" истинно.
Определению отрицания можно придать форму таблицы истинности, в которой "и" означает "истинно" и "л" – "ложно".
А~ А
ил
ли
В результате соединения двух высказываний при помощи слова "и", мы получаем сложное высказывание, называемое конъюнкцией. Высказывания, соединяемые таким способом, называются членами конъюнкции. Например, если высказывания "Сегодня жарко" и "Вчера было холодно" соединить связкой "и" получится конъюнкция "Сегодня жарко и вчера было холодно".
Конъюнкция истинна только в случае, когда оба входящих в нее высказывания являются истинными; если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.
Высказывание А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании В. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.
Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже.
АВА & В
иии
илл
лил
ллл