Самое простое доказательство по мне из признаков подобия прямоугольного треугольника с высотой из прямого угла.
По правилам: катет равен среднему геометрическому гипотенузы и смежного с этим катетом отрезка гипотинузы, разделенной высотой из прямого угла. Т.е. в треугольнике ABC угол B прямой и BH высота. Тогда, например, AB = КОРЕНЬ(AC*AH), а CB = КОРЕНЬ(CA*CH), тогда AC * (CH+AH) = AB^2 + BC^2, а т.к. (CH+AH) = AC, то AC^2 = AB^2+BC^2