Для вычисления предела ( x -> 0) потребовалось разложить данный член по формуле Маклорена...

Для вычисления предела ( x -> 0) потребовалось разложить данный член по формуле Маклорена до o(x^3)

$\frac{1}{1+cosx}$

если вначале раскладываю cosx ,а затем дробь , то всё сходится с ответом.
Пр: $\frac{1}{1+cosx} =\frac{1}{2(1- \frac{x^{2}}{2}) }= \frac{1}{2}+ \frac{x^{2}}{8}+o(x^{3})$
Однако , если вначале предпринимаю попытку разложить дробь ,а затем полученный многочлен из косинусов , то с ответом не совпадает .
$\frac{1}{1+cosx} = 1-cosx+cosx^{2}-cosx^{3} = x^{2}+o(x^{3})$

Вопрос: в чем недопонимание ?