1.Когда в предложении употреблено существительное «век», то с предлогом «на» они пишутся раздельно: «на век».
Я тебя не на век, а всего на один час беру.
(Н. Лесков).
Если между "на" и корнем слова можно поставить что-нибудь, например: предлог, то пишется раздельно .
Вместе на (целый ) век. Пишется раздельно.
2. Когда имеем дело с наречием в значении «навсегда», то пишется слитно: «навек».
Уснуть, навек уснуть! Какое наслажденье! И разве смерть страшна?
(К. Бальмонт).