Остаток сумм Пусть – остаток от деления ** . Найдите остаток при делении числа ** 4000.

0 голосов
22 просмотров

Остаток сумм
Пусть a_{n} – остаток от деления (n+1)^{3} на n^{3}. Найдите остаток при делении числа a_{1} + a_{2} + ... + a_{4002} на 4000.

Математика (186 баллов) | 22 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

 
 \frac{(n+1)^3}{n^3}=1+\frac{3}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{1}{n^3}\\ a_{1}=\frac{2^3}{1}=1+\frac{3}{1}+\frac{3}{1^2}+\frac{1}{1}\\ a_{2}=\frac{3^3}{2^3}=1+\frac{3}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{1}{2^3}\\ a_{3}=\frac{4^3}{3^3}=1+\frac{3}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{1}{3^3}\\ a_{4}=\frac{5^3}{4^3}=1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{1}{4^3}\\ ...\\ a_{4002}=1+\frac{3}{4002}+\frac{3}{4002^2}+\frac{1}{4002^3} \\\\ \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{4002}}{4000}=\\ \frac{2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}..+..\frac{1}{4002})..}{4000}  
так как 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002}<10 это оценка позволяет осознать то что  10<4000, так же с 
  так ка image\frac{1}{n^2}" alt="\frac{1}{n}>\frac{1}{n^2}" align="absmiddle" class="latex-formula"> то 
 следующая сумма дробкей так же меньше S<10
  \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}
 
 то есть остаток равен 
 2+3(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}...+...\frac{1}{4002}) +  3(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}...+...\frac{1}{4002^2})+  \frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}...+...\frac{1}{4002^3}
 

(224k баллов)
Похожие задачи