Остаток от деления Найдите остаток при делении числа ** 1431.

Question 1

Остаток от деления
Найдите остаток при делении числа
$\frac{ 2^{2007}-2 }{ 2^{2}-1 } + \frac{ 3^{2007}-3}{ 3^{2}-1 }+...+ \frac{ 53^{2007}-53}{ 53^{2}-1 }$
на 1431.

Question 2

я понял как решить,но кажется меня уже опередили.долго очень расписывать

Question 3

перезагрузи страницу если не видно

Question 4

$\frac{2^{2007}-2}{2^2-1} + \frac{3^{2007}-3}{3^2-1} + ...+ \frac{53^{2007}-53}{53^2-1} = \\ 1431=27*53\\\\$
вся задача сводится к отдельным суммам разных геометрических прогрессий . $[tex]\frac{2((2^2)^{1003}-1)}{2^2-1} = 2(2+2^3+2^5+2^7+...+2^{2005})+$ + $(3+3^3+3^5+3^7+...+3^{2005})...+..(53+53^3+53^5+53^7+...+53^{2005})$ итд
теперь заметим что сумма чисел равных степеней при делений на $1431$ дают один и тот же остаток равный $1430$
$2+3+4+5+6+...+53=1430$ остаток равен $1430$ так ка
$1430<1430$

$2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ n=53\\\\ 2^3+3^3+4^3+5^3+...+n^3=$ и каждый раз оно будет отличатся на множитель
то есть получим что остаток равен
$1430*2005$

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-29T04:25:25+0000

$\frac{2^{2007}-2}{2^2-1} + \frac{3^{2007}-3}{3^2-1} + ...+ \frac{53^{2007}-53}{53^2-1} = \\ 1431=27*53\\\\$
вся задача сводится к отдельным суммам разных геометрических прогрессий . $[tex]\frac{2((2^2)^{1003}-1)}{2^2-1} = 2(2+2^3+2^5+2^7+...+2^{2005})+$ + $(3+3^3+3^5+3^7+...+3^{2005})...+..(53+53^3+53^5+53^7+...+53^{2005})$ итд
теперь заметим что сумма чисел равных степеней при делений на $1431$ дают один и тот же остаток равный $1430$
$2+3+4+5+6+...+53=1430$ остаток равен $1430$ так ка
$1430<1430$

$2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ n=53\\\\ 2^3+3^3+4^3+5^3+...+n^3=$ и каждый раз оно будет отличатся на множитель
то есть получим что остаток равен
$1430*2005$