В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок,...

0 голосов
73 просмотров

В треугольнике АВС АС=1 см, АВ=2 см, О – точка пересечения биссектрис. Отрезок, проходящий через точку О, параллельно стороне ВС, пересекает стороны АС и АВ в точках К и М соответственно. Найдите периметр треугольника АКМ


Геометрия (679 баллов) | 73 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Положим что биссектрисы BG ; CH ; AL
Так как KM ||BC , то треугольник \Delta AKM подобен  \Delta ABC
\frac{AK}{1}=\frac{AM}{2}\\
AM=2AK\\ 
BM=2KC
Впишем угол CAB=a
 S_{ABC}=\frac{2*1*sina}{2}=sina 
Так как точка пересечения биссектрис , является центром вписанной окружности в данный треугольник. 
  KMBC трапеция , то r - радиус вписанной окружности является высотой  трапеции . 
  KM= 0.5*KM*\sqrt{ 5-4cosa } \\
BC=\sqrt{5-4cosa}  
 Площадь трапеций S_{KMBC} = \frac{\frac{2sina}{3+\sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*\sqrt{5-4cosa}+\sqrt{5-4cosa})}{2}\\
 S_{ABC} = \frac{\frac{2sina}{3+\sqrt{5-4cosa}} (AM*0.5*\sqrt{5-4cosa}+\sqrt{5-4cosa})}{2}+AM^2*sina*0.25 
 то есть   приравнивая 
AM=\frac{6}{\sqrt{5-4cosa}+3} 
 Откуда  AK=\frac{3}{\sqrt{5-4cosa}+3} 
 
 KM=\frac{3\sqrt{5-4cosa}}{\sqrt{5-4cosa}+3} \\
 P_{AKM} = \frac{3\sqrt{5-4cosa}}{\sqrt{5-4cosa}+3} + \frac{9}{\sqrt{5-4cosa}+3} = 3
 
 


image
(224k баллов)
0

Мда замудренное решение. Сравните с моим. Никаких сложных корней.