Рассмотрим 4 случая:
1. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P, а ребро CD в точке O (картинка 1).
Если прямая MN
параллельна AD (рис.
1), то она параллельна и плоскости АА₁D₁. Секущая плоскость проходит через прямую MN, параллельную АА₁D₁, значит линия пересечения с этой
гранью параллельна MN. Достаточно в грани АА₁D₁D провести прямую КТ, параллельную
прямой AD, тогда КТ
параллельна и MN.
КОРТ – искомое сечение.
Если прямая MN
не параллельна AD (рис.
2 и 3)
KO - отрезок сечения.
MN∩AD = R
R и К лежат в плоскости одной грани. Проводим прямую КR.
KR пересекает прямую АA₁ в точке T.
Если эта точка лежит на ребре АА₁ (рис. 2), то KOPT -
искомое сечение.
Если же нет, то прямая KR пересечет ребро A₁D₁ в
точке Е, а прямая ТР ребро А₁В₁ в точке F. KOPFE
– искомое сечение.
2. Прямая MN пересекает ребро AD в точке P и ребро CD в точке O (картинка 2).
Точки К, Р и О попарно лежат в одних и тех же гранях. Просто соединяем их.
КРО - искомое сечение.
3. Прямая MN пересекает ребро AB в точке P и ребро BC в точке O (картинка 3).
PO∩CD = L,
PO∩AD = H
Точки К и Н лежат в плоскости передней грани. Прямая НК пересекает ребро АА₁ в
точке Т
Точки К и L лежат в плоскости боковой грани. Прямая KL пересекает ребро СС₁ в
точке R.
KROPT - искомое сечение.
4. Прямая MN пересекает ребро AD в
точке O и ребро АВ в
точке Р (картинка 4).
OP∩СD = Е,
OP∩ВС = F.
Точки E и К лежат в
плоскости грани AA₁D₁D. Прямая EК пересекает ребро C₁D₁ в точке R и прямую CC₁ в точке Н.
Точки Н и F лежат в
плоскости задней грани. Прямая HF
пересекает прямую В₁С₁ в точке Т.
Если точка Т лежит на ребре В₁С₁, то прямая HF пересечет и ребро ВВ₁ в
точке L (рис. 1)
и тогда KOPLTR - искомое сечение.
Если точка Т не лежит на ребре В₁С₁ (рис. 2), то надо
провести прямую TR в
верхней грани, которая пересечет ребро А₁В₁ в точке L.
KOPLR- искомое
сечение в этом случае.