Как правильно написать вы мне протяните руку или протянете руку
Правильно и так, и так. Надо смотреть по смыслу предложения.Вы мне (что сделайте?) протянИте руку.Вы мне (что сделаете?) протЯнете руку.Большие буквы-это те, на которые падает ударение.
протянИте-повелительное наклонение;протЯнете-будущее время.
Протяните руку.это правильно.