Решить уравнение (1+y3 )xdx-(1+x2 )y2 dy=0

Уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные:
$(1+y ^{3} )xdx=(1+ x^{2} )y^{2} dy \\ \frac{x}{1+ x^{2} }dx= \frac{y ^{2} }{1+y^{3} }dy \\$
Интегрируем
$\int\limits {\frac{x}{1+ x^{2} }dx= \int\limits{\frac{y ^{2} }{1+y^{3} }dy}$
подводим переменную под знак дифференциала
$\\ \frac{1}{2} \int\limits {\frac{2x}{1+ x^{2} }dx= \frac{1}{3} \int\limits{\frac{3y ^{2} }{1+y^{3} }dy}$
$\\ \frac{1}{2} \int\limits {\frac{d(1+x^{2} )}{1+ x^{2} }= \frac{1}{3} \int\limits{\frac{d(1+y ^{3}) }{1+y^{3} }}$

$\frac{1}{2} ln|1+ x^{2}|= \frac{1}{3}ln|1+y^{3}|+lnC$
или
$ln \sqrt{1+ x^{2}} = ln C\cdot \sqrt[3]{1+y^{3}} \\ \sqrt{1+ x^{2}} = C\cdot \sqrt[3]{1+y^{3}}$