Новую ёмкость можно рассматривать как сумму
емкостей двух параллельно соединённых конденсаторов С' и С'' с
одинаковыми промежутками d и разными поперечными сечениями S' и S'',
причём первый полностью залит диэлектриком с некоторой проницаемостью ε:
C₁ = C' + C'' = εε₀S'/d + ε₀S''/d
здесь S' - часть площади пластины конденсатора, заполненная диэлектриком, а S'' - часть площади, свободная от диэлектрика, само собой, S' + S'' = S
Тогда S'' = S - S'
C₁ = εε₀S'/d + ε₀S/d - ε₀S'/d = C + C'(ε - 1)
где С - емкость всего конденсатора без диэлектрика, а С' - емкость части конденсатора, которая оказалась заполнена диэлектриком.
Если взять в качестве коэффициента заполнения диэлектриком k = V'/V где V - геометрический объём конденсатора, а V' - объём диэлектрика с электрической проницаемостью ε, то окончательно можно прийти к общей формуле для емкости конденсатора, частично заполненном диэлектриком:
С₁ = С(1 + k(ε - 1)).
Видно, что при k = 1 (конденсатор полностью заполнен диэлектриком)
С₁ = εС
При k = 0 (диэлектрик отсутствует)
C₁ = С
и при ε = 1 (диэлектрическая проницаемость диэлектрика пренебрежимо мала)
C₁ = С
то есть соотношение вполне работает.