В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=11, AC=14 из вершины В опущены перпендикуляры...

Положим что биссектриса проведенная к стороне $BC=x\\$ , $CG=y$ . Углы $BAC, BCA$ $2a,2b$ соответственно. Используя теорему косинусов найдем углы $a,b$
$12^2=11^2+14^2-2*11*14*cos2b\\ 11^2=12^2+14^2-2*12*14*cos2a\\\\ b=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} \\ a=\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\$
Найдем $BE;BD$

$S_{BGC} = \frac{11y*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} ) }{2}}=\frac{BE*y}{2}\\ BE=11*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2})\\ BD=12*sin(\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2})\\\\ EBD=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2}+\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}\\\\$

По теореме косинусов $ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BE*cosEBD\\$
подставляя найденные значения получим
$ED=\frac{9}{2}$