Помогите, пожалуйста, исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и...

0 голосов
36 просмотров

Помогите, пожалуйста, исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить график.

у=(5-х^2)/(x^2+5)

Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Исследовать функцию на непрерывность; 3) Определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) Найти интервал возрастания и убывания функции и точки экстремума; 5) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) Найти асимптоты графика функции.

Математика (2.6k баллов) | 36 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

y=\frac{5-x^2}{5+x^2}=\frac{10}{x^2+5}-1

1. Область определения D(y)=(-\infty;\infty);

Область значений E(y)=(-1;1]

2) Так как x^2+5>0 для любого действительного х (знаменатель не равен 0 для любого х), то согласно арифмитическим действиям над непрерывными функциями и непрерывности многочленов данная функция непрерывная

3) Так как область определения симметричная относительно т. х=0, и

y(-x)=\frac{10}{(-x)^2+5}-1=\frac{10}{x^2+5}-1=y(x)

то функция четная

Так как данная функция дробно-рациональная, то она непериодична

4) y'(x)=-\frac{10}{(x^2+5)^2}*(2x)-0=-\frac{20x}{(x^2+5)^2}

y'>0 при x<0</var>

y'<0 при x>0

x=0 - точка локального максимума 

при х є (-\infty;0) функция возростает

при х є (0;\infty) функция убывает

5) y''(x)=-20*(\frac{1*(x^2+5)^2-x*2(x^2+5)2x}{(x^2+5)^4})=\\ -20\frac{(x^2+5)(x^2+5-4x^2)}{(x^2+5)^2}=20\frac{(x^2+5)(3x^2-5)}{(x^2+5)^4}=20\frac{3x^2-5}{(x^2+5)^3};

x=^+_-\sqrt {\frac{5}{3}}- точки перегиба

(-\infty; -\sqrt \frac {5}{3}) \cup (\sqrt \frac{5}{3}; \infty)

функция вогнута

на интервале (-\sqrt \frac {5}{3};\sqrt \frac{5}{3})

функция выпукла

6) так как x^2+5>0 , то вертикальных асимптот нет

image\infty} \frac{y(x)}{x}=lim_{x->\infty}\frac{5-x^2}{5x+x^3}=0" alt="k=lim{x->\infty} \frac{y(x)}{x}=lim_{x->\infty}\frac{5-x^2}{5x+x^3}=0" align="absmiddle" class="latex-formula">

image\infty}\frac{10}{5+x^2}-1=-1" alt="b=lim_{x->\infty}\frac{10}{5+x^2}-1=-1" align="absmiddle" class="latex-formula">

значит есть только горизонтальная асимптота y=-1

image
(407k баллов)
Похожие задачи